<T->
          Matemtica e realidade
          8 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1067-0
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
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          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                               I
<F->
Sumrio

Quinta Parte

Unidade 6 -- Produtos 
  notveis e fatorao
Captulo 17- Fatorao  
  de polinmios ::::::::::: 491 
Frao algbrica e 
  simplificao ::::::::::: 492 
Fatorao :::::::::::::::: 495 
Colocando fator comum em 
  evidncia ::::::::::::::: 496 
Fatorao por 
  agrupamento ::::::::::::: 504
Quadrados perfeitos :::::: 510
Fatorando uma diferena de 
  dois quadrados :::::::::: 511  
Trinmio quadrado 
  perfeito :::::::::::::::: 519
Operaes com fraes 
  algbricas :::::::::::::: 528
Adio e subtrao ::::::: 528
Multiplicao e 
  diviso ::::::::::::::::: 530
<p>
Unidade 7 -- 
  Quadrilteros
Captulo 18- 
  Quadrilteros: noes 
  gerais :::::::::::::::::: 543
Reconhecendo 
  quadrilteros ::::::::::: 543
Conceito e elementos ::::: 544
Permetro :::::::::::::::: 548
Quadriltero convexo e 
  quadriltero cncavo :::: 548
Soma dos ngulos de um 
  quadriltero :::::::::::: 550
Quadrilteros notveis ::: 556
Trapzio ::::::::::::::::: 556 
Paralelogramo :::::::::::: 559
Losango :::::::::::::::::: 560
Retngulo :::::::::::::::: 561
Quadrado ::::::::::::::::: 562
Captulo 19- 
  Propriedades dos 
  quadrilteros 
  notveis :::::::::::::::: 573
Paralelogramos ::::::::::: 573 
Propriedades dos ngulos e 
  lados ::::::::::::::::::: 573 
Propriedades das 
  diagonais ::::::::::::::: 574
<p>          
                            III
Propriedades 
  recprocas :::::::::::::: 576 
Lados opostos paralelos e 
  congruentes ::::::::::::: 576 
Retngulos ::::::::::::::: 582 
Diagonais congruentes :::: 583 
Losangos ::::::::::::::::: 586 
Diagonais 
  perpendiculares ::::::::: 587  
Quadrados :::::::::::::::: 590 
Trapzio issceles ::::::: 595
ngulos das bases 
  congruentes ::::::::::::: 595
Diagonais congruentes :::: 597
Base mdia nos 
  tringulos :::::::::::::: 601
Base mdia nos
  trapzios ::::::::::::::: 608
<F+>
<p>
<195>
<T mat. realidade 8>
<t+491> 
Unidade 6 -- Produtos notveis 
  e fatorao

Captulo:
 17- Fatorao de 
  polinmios

Unidade 7 -- Quadrilteros 

Captulos: 
<R+>
 18- Quadrilteros: noes gerais 
 19- Propriedades dos 
  quadrilteros notveis 
<R->

<195>
Captulo 17- Fatorao de 
  polinmios

<R+>
Sobre retngulos de bases iguais 
<R->

  Na figura h dois retngulos de base *a*; num deles a altura  *b* e, no outro,  *c*. Qual  a razo entre as reas desses retngulos? 
<p>
<F->
      !:
      l _
      l _
  !: l _
  l _ l _
b l _ l _ c
  l _ l _
  h:j h:j
   a   a

  As reas so a.b e a.c; portanto, a razo entre elas  ab~ac.

<F+>
Frao algbrica e simplificao 

  Uma razo entre expresses algbricas, como ab~ac,  denominada frao algbrica. 
  Recorde que uma frao numrica pode ser simplificada quando o numerador e o denominador apresentam um mesmo fator. Nesse caso, dividimos ambos por esse fator. Por exemplo: 
 ?5.6*~?5.7*=6~7
<p>
  Essa operao se aplica tambm s fraes algbricas. Assim, di-
vidindo numerador e denominador por *a*, a=0, obtemos: 
 ab~ac=b~c
  Concluso: a razo entre as reas de dois retngulos de bases iguais  igual  razo entre as alturas deles. Se dobrarmos a altura, a rea dobrar. Se a altura for triplicada, a rea tambm triplicar, e assim sucessivamente. 

<F->
        !:
        l _ b
  !:   r:w
  l _ b l _ b
  h:j   h:j
   a     a
<p>
        !:
        l _ b
        r:w
        l _ b
  !:   r:w
  l _ b l _ b
  h:j   h:j
   a     a
<F+>

Fatorando para simplificar 

  A frao numrica 51~69 pode ser simplificada?
  Como 51 e 69 so ambos divisveis por 3, temos: 
 51~69=?3.17*~?3.23*=
  =17~23
<196>
  Agora considere a frao algbrica ?x2+2x+1*~?x2-1*. Uma frao assim tambm pode ser simplificada? 
  Se descobrirmos que o numerador e o denominador podem ser divididos por um mesmo fator, ento poderemos simplificar a frao. Uma maneira de descobrir  decompor 
<p>
numerador e denominador em produto. No exemplo anterior: 
 x2+2x+1  o resultado de 
  `(x+1`)2 ou `(x+1`)`(x+1`); 
 x2-1  o resultado de 
  `(x+1`)`(x-1`). 
  Ento: 
 ?x2+2x+1*~?x2-1*=
  =?`(x+1`)`(x+1`)*~?`(x+1`)`(x-1`)*=
  =?x+1*~?x-1*
  Resultado que obtemos dividindo numerador e denominador pelo fator `(x+1`), que aparece em ambos. Nessa simplificao supomos x+1=0, porque no existe diviso por zero. 

Fatorao 

  O processo de decomposio em produto  denominado fatorao. 

  Fatorar um polinmio significa escrev-lo na forma de um produto indicado.  o mesmo que decompor em fatores ou transformar em produto (indicado). 
<p>
  Para fatorar um polinmio precisamos descobrir que fatores devem ser multiplicados de modo que o resultado seja o polinmio dado. A forma fatorada  o produto indicado desses fatores. 
  Estudaremos, agora, alguns casos de fatorao de polinmios. Aplicaremos a fatorao para simplificar e operar com fraes algbricas. 

Colocando fator comum em 
  evidncia 

  Observe o polinmio ab+ac, que representa a rea total da figura a seguir, formada por dois retngulos. 

<F->
  !:::: :
c l ac _ _
  h::::j _
  l    _ _ b+c
b l ab _ _
  l    _ _
  h::::j j:
    a
<F+>
<p>
  Esse polinmio  formado pelos termos ab e ac, que tm em comum o fator *a* (lado comum dos retngulos).  
  Pela propriedade distributiva, sabemos que: 
 ab+ac=a.`(b+c`) 
  O produto a.`(b+c`)  a forma fatorada do polinmio dado. 
  Na forma fatorada, dizemos que o fator comum *a* est colocado em evidncia. 

  Quando os termos de um polinmio apresentam um fator comum, podemos coloc-lo em evidncia, obtendo uma forma fatorada do polinmio. 

  Se dividirmos o polinmio ab+ac pelo fator comum *a*, o resultado ser b+c. Desse modo, podemos concluir que, na forma fatorada: 
<R+>
 O primeiro fator  o fator comum; 
<p>
 O segundo fator  o quociente da diviso do polinmio pelo fator comum. 
<R->
<197>
  Vamos ver alguns exemplos de fatorao pelo caso do fator comum: 
 kx+ky 
  O fator comum aos dois termos  *k*. Temos: 
 kx+ky=k.`(x+y`) 
  Note que, se efetuarmos a multiplicao k.`(x+y`), o resultado ser kx+ky. 
 ax+bx+cx 
  O fator comum a todos os termos  *x*. Temos: 
 ax+bx+cx=x.`(a+b+c`) 
 x2+3x 
  Os termos x2=x.x e 3x apresentam o fator comum *x*. Temos: 
 x2+3x=x.`(x+3`) 
 2ab+3abc 
  Para fazer a fatorao completa  preciso pr em evidncia todos os fatores comuns: *a* e *b*. 
<p>
  Temos: 
 2ab+3abc=ab.`(2+3c`) 
 a2x4+a3x2-5a4x 
  Se uma varivel aparece em todos os termos com expoentes diferentes, ela  posta em evidncia elevada ao menor expoente com que aparece. Observe: 
 a2x4+a3x2-5a4x=a2x.
  .`(x3+ax-5a2`) 
 20x5+12x4+4x3 
  Quando h coeficientes numricos inteiros, costumamos decomp-los em fatores primos e pr em evidncia os que forem comuns. Veja: 
 20x5+12x4+4x3=22.5.
  .x5+22.3.x4+22.x3=
  =22.x3.`(5x2+3x+1`)=
  =4x3.`(5x2+3x+1`) 
  Se efetuarmos a multiplicao 4x3.`(5x2+3x+1`), o resultado ser 20x5+12x4+4x3. 
<p>
Exerccios 

<F->
<R+>
27. Observe a figura a seguir e responda s questes. 

_`[{retngulo dividido em trs partes_`]
Legenda:
rea alaranjada: al;
rea azul: az;
rea lils: li.
<F+>
<R->
<F->

    pcccccclcccclcc
    l      l    l  _
    l      l    l  _
  a l  al  l az lli_
    l      l    l  _
    l      l    l  _
    v------l----l--#
       x     y    z
<F+>

<R+>
<F->
a) Qual  a rea de cada parte colorida?
b) Qual  a rea total? 
c) Qual  a forma fatorada de ax+ay+az?
<198>
<p>
28. Copie, substituindo os pontinhos e completando as fatoraes. 
a) ax+ay=a.`('''`) 
b) ap+bp+cp=p.`('''`) 
c) 4a+8b=4.`('''`) 
d) abc+abd+abe=ab.`('''`) 
e) xyz+yz+z=z.`('''`) 
f) a+ab+abc=a.`('''`) 

29. Fatore, colocando os fatores comuns em evidncia. 
a) am+an  
b) kx+k 
c) 4x-8 
d) 3ax-7axy
e) 4kp+8kq-12k  
f) x+ax+abx 
 
30. Simplifique as fraes algbricas. Se necessrio, fatore o numerador e o denominador. 
a) 10ab~15ac
b) 6a2~4ab
c) ?m`(a+b`)*~?m`(x+y`)*
<p>
d) ?a`(x+y`)*~?ab`(x+y`)*
e) ?2x+2*~?4x+4*
f) ?3a-6b*~?a-2b*
g) ?x+ax*~?x+bx*
h) ?ax+a*~?bx+b* 

31. Fatore, colocando em evidncia os fatores comuns. 
a) x2+x
b) x4-x3+x2 
c) 3a3+12a7 
d) 15y5-10y3+25y2 
e) a3x2+a4x4-2a5x6  
f) a3x3+4a2x2y 

32. Fatore. 
a) a2+a3 
b) m5-3m4
c) 2x4+5x2 
d) 12y3-8y2+4y 
e) 3a3b2+9a2b3 
f) x3y2+x2y2+xy2  
g) a2b2-ab3 
h) -4m3-6m2 
i) 25h3-20h4+15h5  
j) 12a3x2+6a2x3-
  -8ax4
<F+>
<p>
33. Simplifique as fraes algbricas.
<R->
 ?a2b+ab2*~2ab;
  ?a3b4-a2b5*~?a-b*;
  ?27x3+9x2*~?3+9x*.

<R+>
<F->
34. Fatore o numerador e o denominador e simplifique. 
a) ?2a+2b*~?3a+3b*
b) ?abx+aby*~?a2x+a2y*
c) ?x4y3+x3y2*~
  ~?x2y+xy2*
d) ?ax4-ax3+2ax2*~
  ~?x5-x4+2x3*

35. Copie, substituindo os pontinhos e formando sentenas verdadeiras. 
a) -x+1=-1`('''`)
b) -x-1=-1`('''`)
c) -a+2='''`(a-2`)
d) -a-2='''`(a+2`) 
<F+>
<p>
36. Na expresso a`(x+1)+
  +b`(x+1), o fator `(x+1)  comum s duas parcelas. Assim: 
<R->
<F->
a`(x+1)+b`(x+1`)=`(x+1).`(a+b`) 
  Agora, vamos fatorar. 
a) a`(x-y`)+b`(x-y`) 
b) x`(a+b`)-y`(a+b`)  
c) a2`(x+1)+5`(x+1)  
d) `(x-1`)-a`(x-1) 
e) a`(x+2)+`(x+2)   
f) a`(x-2)-`(x-2) 

37. Simplifique. 
a) ?a+b-c*~?-a-b+c*
b) ?a`(x+y`)+b`(x+y`)*~?`(a-b`)x+
  +`(a-b`)y*
<F+>
<199>

Fatorao por agrupamento 

  Observe os termos do polinmio: 
 ax-mx+ay-my 
  Os dois primeiros termos apresentam o fator comum *x*, e os dois ltimos apresentam o fator comum *y*. 
<p>
  Vamos agrupar os termos e colocar em evidncia os fatores comuns: 
 `(ax-mx`)+`(ay-my`) 
 x.`(a-m`)+y.`(a-m`) 
  Temos agora dois produtos em que `(a-m`)  fator comum. 
  Colocando `(a-m`) em evidncia, obtemos: 
 `(a-m`)`(x+y`) 
  Assim, transformamos o polinmio dado no produto `(a-m`)`(x+y`), que  a sua forma fatorada. 
  Ento: 
 ax-mx+ay-my=`(a-m`)`(x+y`) 

  Podemos fatorar certos polinmios agrupando os seus termos de tal maneira que: 
<R+>
 Em cada grupo haja fator comum; 
 Fatorando cada grupo, observamos que eles apresentam um novo fator comum que, ao ser posto em evidncia, completa a fatorao. 
<R->
<p>
  Veja alguns exemplos de fatorao por agrupamento: 
 ax+ay+bx+by=`(ax+ay`)+`(bx+by`)=
  =a`(x+y`)+b`(x+y`)=`(x+y`)`(a+b`) 
 x2+xy-x-y=`(x2-x`)+`(xy-y`)=
  =x`(x-1`)+y`(x-1`)=`(x-1`)`(x+y`) 
 ax-a-3x+3=`(ax-a`)-`(3x-3)=
  =a`(x-1)-3`(x-1)=`(x-1`)`(a-3) 

  Voc sempre pode conferir se a fatorao est correta: efetuando a multiplicao indicada, o resultado deve dar o polinmio inicial.

Exerccios
 
<R+>
<F->
38. Fatore por agrupamento. 
a) a2+ab+ac+bc
b) ax-bx+ay-by
c) ax+2bx+3a+6b 
d) ab+a+b+1 
e) xy+2x-2y-4 
f) ab-an+bm-mn 

39. Transforme em produto. 
a) x2+ax+bx+ab
b) mp+np-mq-nq
c) ax-ay-bx+by 
d) 8x2+4xy+2x+y 
e) x3-5x2+4x-20 
f) mn-m-n+1 
<199>

40. Que fatorao pode ser explicada geometricamente a partir da figura a seguir? 

_`[{quadrado dividido em quadrados e retngulos_`]
Legenda:
rea rosa: rs;
rea azul: az;
rea verde: vd;
rea alaranjada: al.
<F+>
<R->

<F->
   pcccccccccclcccccccccc
   l          l          _
 b l   rs     l   vd     _
   v----------l----------_
   l          l          _
   l          l          _
   l          l          _
 x l   az     l   al     _
   l          l          _
   v----------l----------#
       x           a
<F+>
<p>
<R+>
<F->
41. Agrupe os termos e fatore. 
a) ab+ac+10b+10c  
b) xy+2x+5y+10 
c) ab-3a-4b+12 
d) x3+x2+x+1 
e) a2-a+x-ax 
f) ax-ay+x-y 
g) m4+7m3-6m-42 
h) abx2+aby2+a2xy+b2xy 
i) ax+bx+cx+ay+by+cy 
j) ax-ay+bx-by+cx-cy

42. Fatore o numerador e o denominador e simplifique. 
a) ?ax+ay*~?ax+bx+ay+by*
b) ?x2+xy*~?x2+2x+2y+xy*
c) ?ab+ac+2b+2c*~
  ~?2ab+2ac*
d) ?xy+2x+2y+4*~
  ~?2xy+x+4y+2*
e) ?x3+x2-x-1*~
  ~?x3-x2-x+1*
<F+>
<R->
<p>
Desafios 

Grandes nmeros 

  Em uma gincana de matemtica foram sorteadas as questes a seguir para duas equipes participantes. 
  Que resposta deveria dar cada equipe? 
<F->
Equipe azul:
x=1.001; ?x8+x7+x6*~
  ~?x6+x5+x4*='''
Equipe vermelha: 
x=0,0.001; ?x8+x9*~
  ~?x10+x11*='''
<F+>

Os quatro irmos 

  As idades (em anos) de quatro irmos so *a*, *b*, *c* e *d*, do mais velho para o mais novo. Os dois mais velhos tm, juntos, 35 anos. Os dois mais novos somam 24 anos. 
  Quanto vale a expresso ac+bc+
 +ad+bd? 
<201>
<p>
Quadrados perfeitos 

  Assim como existem os nmeros quadrados perfeitos, tambm falamos em expresses algbricas que so quadrados perfeitos. Observe a figura a seguir na qual apresentamos uma interpretao geomtrica para um quadrado perfeito. Veja tambm os exemplos. 
 25x2  quadrado perfeito, 
  pois 25x2=`(5x`)2. 
 x4  quadrado perfeito, pois 
  x4=`(x2`)2. 
 a4b12  quadrado perfeito, 
  pois a4b12=`(a2b6)2. 

<R+>
_`[{em uma janela, um menino pergunta para uma menina: "Voc sabe quando um monmio  quadrado perfeito?"_`]
<R->

<F->
  pcccccccc
  l        _
  l25x2 _  5x
  l        _
  v--------#
     5x
<F+>
<p>
  Um monmio  denominado quadrado perfeito quando  igual ao quadrado de outro monmio. Para isso, sendo no nulo, deve ter coeficiente positivo e todos os expoentes das suas letras devem ser nmeros pares. 
  Veja outros exemplos: 
 3m2  quadrado perfeito, 
  pois 3m2=`(3.m`)2. 
 9x3 no  quadrado perfeito, 
  porque o expoente de *x*  
  mpar. 

Fatorando uma diferena de dois 
  quadrados 

  A expresso a2-b2 representa a diferena de dois quadrados: a2 e b2. 
  A diferena de dois quadrados  um produto notvel. 
  Sabemos que a2-b2  igual ao produto da soma `(a+b`) pela diferena `(a-b`), isto : 
 a2-b2=`(a+b`)`(a-b`) 
<p>
  Podemos compreender essa igualdade trabalhando com reas. Observe as figuras a seguir. 

<R+>
<F->
_`[{duas figuras descritas a seguir_`]
1 figura: Um quadrado grande, dividido em dois retngulos e um quadradinho branco representado por br.

<F->
          a-b        b
     r::::::::::::l::::w
  cp pccccccccccccpcccc c
   l l            l br _ _ b
   l l            l    _ _
   l v------------v----# #
 a l l                 _ _ 
   l l                 _ _  
   l l                 _ _ a-b 
   l l                 _ _   
   l l                 _ _ 
   l l                 _ _ 
  -v v-----------------# #-             
     r:::::::::::::::::w
             a

  rea colorida =a2-b2
<p>
2 figura: Um retngulo grande, dividido em dois retngulos menores.
<F+>
<R->
<F->
   
   cp pcccccccccccccccccpcccc
    l l                 l    _ 
    l l                 l    _
    l l                 l    _
a-b l l                 l    _ 
    l l                 l    _ 
    l l                 l    _  
    l l                 l    _  
    l l                 l    _
   -v v-----------------v----#
      r:::::::::::::::::r::::w
               a           b 
      r::::::::::::::::::::::w
               a+b
  
  rea colorida =`(a+b`)`(a-b`)

  As reas coloridas nas duas figuras so iguais. Ento: 
a2-b2=`(a+b`)`(a-b`) 
<202>
  Assim, `(a+b`)`(a-b`)  a forma fatorada de a2-b2. 
<p>
  A forma fatorada da diferena de dois quadrados  o produto da 
soma pela diferena das bases, na ordem dada. 

  Veja os exemplos: 
x2-9=x2-32=`(x+3`)`(x-3)  
25a2-1=`(5a`)2-12=
  =`(5a+1`)`(5a-1`) 
x4-y4=`(x2`)2-`(y2`)2=
  =`(x2+y2`)`(x2-y2`)=
  =`(x2+y2`)`(x+y`)`(x-y`)

Exerccios 

<R+>
43. Observe as figuras e responda s questes a seguir: 

<R+>
_`[{duas figuras descritas a seguir_`]
1 figura: Um quadrado grande, dividido em dois retngulos coloridos e um quadradinho branco representado por br.

<p>
<F->
                     y
                  r::::w
  cp pcccccccccccclcccc_ c
   l l            l br _ _ y
   l l            l    _ _ 
   l l------------l----# #-
   l l                 _ 
   l l                 _ 
 x l l                 _ 
   l l                 _  
   l l                 _
   l l                 _
  -v v-----------------#             
     r:::::::::::::::::w
             x

2 figura: Um retngulo grande, dividido em dois retngulos menores coloridos.
<R->

<p>    
   cp pcccccccccccccccccpcccc
    l l                 l    _ 
    l l                 l    _
    l l                 l    _
x-y l l                 l    _ 
    l l                 l    _ 
    l l                 l    _  
    l l                 l    _  
    l l                 l    _
   -v v-----------------v----#
      r:::::::::::::::::r::::w
               x           y 

<R+>
a) Quanto vale a rea colorida na primeira figura? E na segunda figura? 
b) Qual  a forma fatorada de x2-y2? 

44. Copie, substituindo os pontinhos e completando as igualdades com monmios de coeficientes positivos. 
a) 4y2=`('''`)2 
b) 36a2=`('''`)2 
c) m4=`('''`)2
<p>
d) x2y2=`('''`)2  
e) x6=`('''`)2 
f) 81y4=`('''`)2 

45. Fatore. 
a) a2-25
b) x2-1
c) x2-100
d) a2b2-4
e) 9x2-16y2
f) 4x2-1 
g) m2-16
h) m2-16n2
i) 4x2-25y2 
j) x2~100-1
k) x2-1~x2
l) a2~4-1~9 
m) 4x2~25-25~36
n) 9x2~4-1~49
o) x2-3

46. Calcule o valor de: 
12.3452-12.3442; 2.0022-1.9982.  
<p>
47. Faa a fatorao completa (comece colocando em evidncia os fatores comuns). 
a) x3-x 
b) a5-4a3 
c) 125-5p2q2
d) 3x2-12y2 
e) x4-x2
f) a2b2-b4 
g) x7-x3 
h) x8-16  
<203>

48. Fatore completamente. 
a) 7x2-7 
b) ab2-ac2 
c) x3y-xy3
d) 25a4-100x2
e) a3-25a 
f) 4x4-x2
g) a4-b4 
h) x4-1 
i) y4-16
j) a2-b2+10a-10b

49. Agrupe convenientemente os termos e fatore. 
x3+x2-4x-4; x2-y2+x-y; x2y2-x2-y2+1. 
<p>
50. Simplifique ?`(x2-1`)
  `(x+2`)*~?`(x2-4`)`(x-1`)* e calcule seu valor para x=1.002. 

51. Calcule o valor de: 
a) `(100+9`)`(100-9`) 
b) 54.3212-54.3202
c) ?x4-1*~?`(x-1`)`(x2+1`)*, para x=1.999 

52. A diferena dos quadrados de dois inteiros consecutivos  um nmero par ou mpar? Prove a sua resposta, representando os nmeros por *n* e n+1. 
<R->

Trinmio quadrado perfeito 

  O trinmio a2+2ab+b2  denominado trinmio quadrado perfeito porque  igual ao quadrado do binmio `(a+b`): 
a2+2ab+b2=`(a+b`)2 
<p>
  O trinmio a2-2ab+b2 tambm  um trinmio quadrado perfeito porque  igual ao quadrado do binmio `(a-b`): 
a2-2ab+b2=`(a-b`)2 
  `(a+b`)2  a forma fatorada do trinmio a2+2ab+b2. 
  `(a-b`)2  a forma fatorada do trinmio a2-2ab+b2. 
  Reconhecemos um trinmio quadrado perfeito e obtemos sua forma fatorada observando se: 
<R+>
 possui trs termos; 
 dois de seus termos so quadrados perfeitos `(a2 e b2`); 
 o outro termo  mais, ou menos, duas vezes o produto das bases `(+2ab ou -2ab`). 
<R->
  O sinal deste termo `(+ ou -`)  mantido na forma fatorada: `(a+b`)2 ou `(a-b`)2, respectivamente. 
  Trinmios quadrados perfeitos so produtos notveis. 
<204>
<p>
  Veja os exemplos: 
x2+10x+25=x2+2.5.x+52=
  =`(x+5`)2 
x2-10x+25=x2-2.5.x+52=
  =`(x-5`)2 
a2+6ab+9b2=a2+2`.a.3b+
  +`(3b`)2=`(a+3b`)2 
a2-6ab+9b2=a2-2`.a.3b+
  +`(3b`)2=`(a-3b`)2 
x4+2x2y+y2=`(x2`)2+2.
  .x2.y+y2=`(x2+y`)2 
9a2x2-6ax+1=`(3ax`)2-
  -2.3ax.1+12=`(3ax-1`)2 

Exerccios 

<R+>
53. Observe a figura e responda s questes a seguir:
<R->
<p>
<F->
  O   a    b C
  !:::::::::::
  l       _    _
  l       _    _
a l       _    _ a
  l       _    _
  l       _    _
  r:::::::w::::w
  l       _    _
b l       _    _ b
  h:::::::j::::j
  B   a    b I
<F+>
 
<R+>
 a) Some a rea de cada uma das quatro partes indicadas. Qual  a rea do quadrado {b{i{c{o? 
 b) Qual  a medida do lado do quadrado {b{i{c{o?  
 c) Qual  a forma fatorada de a2+2ab+b2? 

54. Coloque as expresses de cada carto na forma fatorada. 
<R->
<F->
Carto A:
x2+2ax+a2
x2-2ax+a2
<p>
x2+2x+1
x2-2x+1
a2-20a+100

Carto B:
a2+20a+100
n2-8n+16
4x2+4xy+y2
a2-10ab+25b2
x4-2x2y-y2

Carto C:
m2+2mn+n2
1-2p+p2
a2-12a+36
b2-2b+1
1-2x+x2

Carto D:
a2+4a+4
x2-4x+4
x2+16x+64
m2+12m+36
49x2-14x+1
<F+>
<p>
<R+>
<F->
55. Alguns dos polinmios a seguir so trinmios quadrados perfeitos (mesmo que fora da ordem usual), outros so trinmios, mas no so quadrados perfeitos, e outros nem trinmios so! Quais so os trinmios quadrados perfeitos? 
a) x2+x+1
b) x2+2x+1 
c) x2+4x+1 
d) x2+4 
e) x2+4-4x 
f) x2+y2 
g) x2+y2+2xy 
h) x2+5xy+25y2 
i) x2-10xy+5y2 
j) x2+100y2-20xy 
<205>

56. Faa a fatorao completa (primeiro coloque os fatores comuns em evidncia). 
a) x3+2x2+x 
b) x3-2x2+x 
c) 5x2-20x+20
d) 18ab2-12ab+2a  
e) -5p2-40p-80
<p>
f) ax2-4ax+4a
g) x4+2x3+x2 
h) 2x2+4x+2 
i) 9x6+6x5+x4 
j) x2y2-2xy2+y2  

57. Fatore completamente: 
a) 3x2+6x+3 
b) 10a2-20a+10 
c) -2x2+8x-8 
d) x3-10x2+25x
e) x4-2x2+1 
f) a2+2ab+b2-c2 
g) a2-b2-2bc-c2
h) a4-2a2b2+b4 
i) a4-8a2+16 
j) a6-a4b2+a2b4-b6 

58. Marcelo e Alexandre nasceram no dia 3 de maio. Marcelo nasceu no ano *x*, e Alexandre nasceu no ano ?x4-x3-x2+
  +x*~?x3-2x2+x*.
a) Qual  a diferena de idade entre eles? 
b) Quem  o mais velho?
<p>
c) Se Alexandre completar 21 anos no dia 3/5/2016, qual  o ano *x* em que Marcelo nasceu? 
<F+>
<R->

Desafio 

<R+>
Pedro e Lcia em "Adivinhando pensamentos" 

_`[{o dilogo entre Pedro e Lcia obedecer a seguinte sequncia: uma fala do menino, uma fala da menina e assim sucessivamente_`]
<F->
-- Pense em um nmero.
-- J pensei.
-- Eleve ao quadrado.
-- Pronto.
-- Adicione o nmero pensado.
-- J somei.
-- De novo, adicione o nmero pensado.
-- J fiz.
-- Agora divida pelo nmero pensado.
-- Pronto.
-- Quanto deu?
<p>
-- 9
-- Voc pensou no 7.
-- Acertou.
<F+>
<R->
<206>

<R+>
<F->
_`[{o dilogo entre Pedro e Lcia continua. Obedecer a seguinte sequncia: uma fala da menina, uma fala do menino e assim sucessivamente_`]
-- Agora  a minha vez. Pense num nmero inteiro.
-- J pensei.
-- Eleve ao cubo e subtraia o nmero pensado.
-- Calma... Pronto.
-- Divida pelo nmero pensado.
-- J fiz.
-- Agora divida pelo sucessor dele.
-- Pronto.
-- Agora divida pelo antecessor dele.
-- Fcil. J fiz.
-- Deu 1.
<p>
-- Acertou. Voc sabe em que nmero pensei?
-- No foi 0, nem 1, nem -1 pode ser qualquer outro.
<F+>
<R->
<207>

  Agora, responda s questes: 
<R+>
a) Se a conta final da Lcia tivesse dado 12, em que nmero ela teria pensado?  
 b)  correto o que Lcia falou por ltimo?
<R->

Operaes com fraes algbricas 

  Podemos operar com fraes algbricas como fazemos com fraes numricas, inclusive simplificando 
o resultado, quando possvel. Veja os exemplos e resolva os exerccios. 

Adio e subtrao 

 2~3+4~5=?5.2+3.4*~
  ~?3.5*=?10+12*~15=
  =22~15
 a~b+c~d=?d.a+b.c*~?b.d*=
  =?ad+bc*~bd
<p>
 2~3-4~5=?5.2-3.4*~
  ~?3.5*=?10-12*~15=
  =-2~15
 a~b-c~d=?d.a-b.c*~?b.d*=
  =?ad-bc*~bd
 3x2~?x+1*+3x~?x+1*=
  =?3x2+3x*~?x+1*=
  =?3x`(x+1`)*~?x+1*=3x
 a~bc+b~ac-c~ab=a2~abc+
  +b2~abc-c2~abc=
  =?a2+b2-c2*~abc
<208>

Exerccios 

59. Calcule 5a~?a+b*+
  +5b~?a+b*.

<R+>
60. Efetue as operaes indicadas em cada item. 
<R->
<F->
a) a~b+b~a
b) 1~x2+2~x-3
c) x~2+2~x-1
d) x2~?x-2*+?3x+1*~
  ~?x-2*+?1+x*~?x-2*
e) x~?x-1*+?x-y-1*~?y`(x-1`)*
<p>
f) x+1+1~?x-1*
g) 1~?xy*+1~?yz*+1~?xz*
h) 1+1~?x+1*-x~?x-1*
<F+>

<R+>
<F->
61. Calcule 1~a2+a+a-1~a (comece fazendo uma fatorao). 
62. Reduza ao mesmo denominador e calcule: 
<F+>
<R->
 14~?x2-4*-?6-x*~?x+2*; 
  2x~?x2-1*+1~?x-1*-
  -1~?x+1*.

Multiplicao e diviso 

 2~3.4~5=?2.4*~?3.5*=
  =8~15
 a~b.c~d=?a.c*~?b.d*=ac~bd
 2~34~5=2~3.5~4=
  =10~12=5~6
 a~bc~d=a~b.d~c=ad~bc
 3ax~2by.4ab~9xy=
  =?3.4.a2`.b.x*~
  ~?2.9`.b.x.y2*=
  =2a2~3y2
 a3~b2a2~b3=
  =a3~b2.b3~a2=
  =?a3`.b3*~?b2.a2*=ab
<p>
 ?3x2+9x*~16y2.4xy~
  ~?x+3*=?3x`(x+3`).4xy*~
  ~?16y2.`(x+3`)*=3x2~4y

Exerccios 

<R+>
63. Efetue as multiplicaes e divises: 
<R->
 a) 3a2~b.4b2~a
 b) 6xy~4a29x2~2ab
 c) `(64xy~9.81x2~16y2`)
  24x~y
 
<R+>
64. Efetue as operaes indicadas em cada item. 
<R->
 a) 3a2b4~5a3.
  .20b~9ab2
 b) `(3a~5.15b~4a2`)
  3a~8b
 c) ?x2+2x*~9y2
  ?x+2*~3xy
 d) ?1+a*~?1+1a*
 e) ?x+2*~?x2-x*.
  .?x2-2x*~?x+1*
<209> 
<p>
65. Calcule: `(1~?x+1*+
  +1~?x-1*`).`(x-1~x`). 

66. Calcule e simplifique. 
 a) `(?a+b*~?a-b*-?a-b*~?a+b*`)
  4ab~?a+b*
 b) `(x~y-1`)`(x~?x-y*-1`)
 c) `(x+?5-x*~?1+5x*`)
  `(1-?5x-x2*~?1+5x*`)
 d) `(1+?p-q*~?p+q*`)
  `(1-?p-q*~?p+q*`)-p~q
 e) m~1-?1-m*?1+m*  

<R+>
67. Simplifique ?x2-x*~
  ~?x2-2x+1*.?x2-1*~
  ~?2x+2*. 
 68. Calcule ?a4-b4*~
  ~?a2-2ab+b2*
  ?a2+b2*~?a2-b2*, sabendo que a=b+1. 
<R->

69. Efetue as operaes. 
 a) `(?x-4*~?x2-4*.
  .?x+2*~?x2-16*`)1~
  ~?x+4*
 b) ?1-a*~a`(1-1~a2`)
 c) 1~?1+a*+1~?1-a*-
  -2a~?1-a2*
<p>
 d) ?2x+1*~?y+1*+?2x-1*~
  ~?y-1*-?4xy-2*~?y2-1*
 e) ?3a-4*~?a2-16*-
  -1~?a-4*

70. Simplifique. 
 ?x2-1*~?x2+2x+1*; 
  ?x2-2x+1*~?x2+2x+1*
  `(x2-1`).

71. Calcule e simplifique. 
 a) ?x2+x-2*~?x2-1*-
  -2~?x+1*
 b) ?a2+a*~?b2+b*.
  .?a2-a*~?b2-b*.?b2-1*~
  ~?a2-1* 
 c) ?a4-b4*~?a2+ab*
  ?a2-2ab+b2*~?a-b*

<R+>
72. Para x=1~10, o valor nu-
  mrico de: 1~?x-1?x+1x**-
  -1~?x+1?x-1x** corresponde ao nmero do ltimo ano de que sculo?  
<R->
<210>
<p>
Desafios 

Faltou menina na festa? 

  Os trinta alunos de uma classe promoveram uma festa. Uma das meninas danou com cinco rapazes, outra, com seis rapazes, outra, com sete rapazes, e assim por diante, at chegar  ltima moa, que danou com todos os rapazes da classe. Quantas eram as moas e quantos eram os rapazes? 

Os anos bissextos 

  Um ano solar tem 365 dias mais 5 h 48 min 46 s. 
  Por isso, em uma sequncia de quatro anos encontramos trs anos 
com 365 dias e um com 366 dias, chamado ano bissexto. 
  Entretanto, por no serem exatamente 365 dias e 6 h, a intercalao de anos bissextos no  to simples. Em meados do sculo 
<p>
XVI, o papa Gregrio XIII determinou que nenhum ano que terminasse em 00 fosse bissexto, exceto os divisveis por 400. 
  Assim, em nosso calendrio (chamado calendrio gregoriano), os anos bissextos so os divisveis por 4, excluindo os terminados em 00 no divisveis por 400. 

<R+>
 a) O ano 2000 foi bissexto? 
 b) O ano 2100 ser bissexto? 
 c) Quantos so os anos bissextos do sculo XXI? 
<R->
<211>

Teste seu conhecimento 

  Observe a figura a seguir para responder s questes 1 e 2. 

<R+>
_`[{dois quadrados. Um interno com a rea no colorida e o externo com a rea colorida_`]
<R->
<F->
<p>
  pccccccccccccccccccccc
  l                     __ 
  l                     __
  l    pccccccccc     __ 
  l    l         __     __ 
  l    l         __ n-1__  n+1
  l    l         __     __
  l    l         __     __
  l    v---------##     __
  l                     __
  l                     __
  l                     __
  v---------------------##             
<F+>

<F->
1. A rea do quadrado interno : 
a) n2-1 
b) n2+1 
c) n2+2n-1 
d) n2-2n+1 

2. A rea colorida vale: 
a) 2n 
b) 4n 
c) 2n+2 
d) 4n+2 
<p>
3. A expresso `(2n+1`)2+
  +`(n+2`)2+2`(n+1`)`(n-1`)  
  igual a: 
a) 7n2+8n+3 
b) 7n2+6n+3 
c) 7n2+6n+4 
d) 7n2+8n+4 
<F+>

<R+>
4. `(x-1+y-1`)-2  o mesmo que:
<R->
 a) ?x2+2xy+y2*~x2y2
 b) x2+2~xy+y2 
 c) x2y2~?x2+2xy+y2* 
 d) x2+2xy+y2

<R+>
<F->
5. A frao 36x2y~24xy2 equivale a:
a) 3~2
b) 3x~2y
c) 3xy~2
d) 6

6. Fatorando a expresso 
  x2y-y, obtemos: 
a) x`(y-1`) 
b) y`(x-1`) 
<p>
c) y2`(1-x`) 
d) y`(x+1`)`(x-1`) 

7. O valor da expresso 
  x2y+xy2, em que xy=12 e 
  x+y=8, :
a) 96
b) 88
c) 44
d) 40

8. (UFF-RJ) A expresso 
  ?1010+1020+1030*~
  ~?1020+1030+1040*  
  equivalente a: 
a) 1+1010 
b) 1010~2
c) 10-10 
d) 1010 

9. (ESPM-SP) Simplificando ?213+216*~?215*, obtemos:
a) 2
b) 1,5
c) 2,25
d) 27 
<p>
10. (ESPM-SP) Fatorando a expresso x3+x2-4x-4, tem-se: 
a) x`(x2+x+4`)+4 
b) `(x2+4`) 
c) x3+x2+4`(x+1`) 
d) `(x+1`)`(x+2`)`(x-2`) 

11. (FGV-SP) Seja *n* o resultado da operao 
  3752-3742. A soma dos algarismos de *n* :
a) 18  
b) 19 
c) 20 
d) 21 

12. (UF-PI) Um criador de aves verificou que, aps colocar n+2 aves em cada um dos *n* viveiros disponveis, sobraria apenas uma ave. O nmero total de aves, para qualquer valor de n,_n  sempre: 
a) um nmero par. 
b) um nmero mpar. 
<p>
c) um quadrado perfeito. 
d) um nmero divisvel por 3. 
<F+>
<R->
<212>

Matemtica em notcia 

Sem reciclagem, Brasil descarta 
  4,7 bi de garrafas PETs na 
  natureza 

  Utilizadas principalmente por indstrias de refrigerantes e sucos, as garrafas PETs movimentam hoje um mercado que produz cerca de 9 bilhes de unidades anualmente s no Brasil, das quais 53% no so reaproveitadas. Com isso, cerca de 4,7 bilhes de unidades por ano so des-
cartadas na natureza, contaminando rios, indo para lixes ou mesmo espalhadas por terrenos vazios. Entre 1995 e 2005, a produo de PET, o plstico 
 *politereftalato de etila*, para a fabricao de garrafas subiu de 120 mil toneladas para cerca de 
<p>
374 mil toneladas, alavancada principalmente pela indstria de refrigerante. 
  Agora, o que tem despertado a preocupao de ambientalistas e autoridades ligadas ao setor  o interesse crescente de fabricantes de cerveja por esse tipo de embalagem. 

Raio x

  9 bilhes de garrafas PETs so produzidas por ano no Brasil.
  53% no so recicladas =4,7 bilhes de garrafas por ano.
  Em 2005 370 mil toneladas de PETs foram produzidas e 196 
mil toneladas no foram recicladas.
  De 1994 a 2005, 1.300% foi quanto cresceu a produo de garrafas PETs.
  1.863 mil toneladas  o total de PETs acumuladas no meio ambiente.
<p>
  Mais de 4,5 bilhes de garrafas PETs sero produzidas, se as grandes cervejarias adotarem a 
embalagem. Em 1994, os refrigerantes comearam a ser envasados em PETs.
  Valor da sucata R$2,50 o quilo do alumnio e R$0,50 o quilo do PET.

<R+>
<F->
(*O Estado de S. Paulo*, 8/10/2007.) 

a) Em 2005 foram produzidas 370 mil toneladas de PETs, num total de aproximadamente 9 
  bilhes de garrafas. Em mdia, qual  a massa de cada garrafa?  
b) Se as 4,7 bilhes de garrafas no recicladas por ano fossem vendidas a R$0,50 por quilo, quanto seria arrecadado?  
<F+>
<R->

               oooooooooooo
<p>
<214>
Unidade 7 -- Quadrilteros

Captulo 18- Quadrilteros: 
  noes gerais 

Quadrilteros no dia a dia 

  Certas formas da geometria esto muito presentes em nosso dia a dia. 
  Ao observar a foto,  possvel perceber imagens que nos do a ideia de polgonos. Voc sabe reconhecer quais delas so quadrilteros? 

<R+>
_`[{foto da parte da frente de uma casa, com quatro janelas retangulares. Uma grade dividida em dois quadrados foi colocada em cada janela_`]
<R->

Reconhecendo quadrilteros 

  Observe os polgonos _`[no representados_`] e responda: quais deles tm exatamente 4 lados? 
<p>
  Os polgonos de 1 a 5 so polgonos simples; os polgonos 6 e 7 so no simples (ou entrelaados). Os polgonos 2, 4 e 6, que tm exatamente quatro lados, so chamados quadrilteros. 
<215>
  Estamos iniciando um estudo mais aprofundado dos quadrilteros e, para isso, vamos consolidar o conceito de quadriltero. 

Conceito e elementos 

  Consideremos quatro pontos, A, B, C e D _`[no representados_`], distribudos de modo que a reta que contm dois deles no passe por nenhum dos outros dois. 
  Assim, cada uma das seis retas contm apenas dois dos pontos A, B, C e D. 
  Nessas condies, se considerarmos os segmentos ^c?{a{b*, ^c?{b{c*, ^c?{c{d* e ^c?{d{a*, teremos formado uma linha poligonal fechada, com quatro lados, tambm chamada quadriltero {a{b{c{d. 
<p>
<F->
     A
     
             B     A
D           pccccccc
   l          l       _
   l          l       _
   l          l       _
   v--------u  v-------#
   C      B  C     D
<F+>

  Dados quatro pontos, A, B, C e D, dos quais no h trs colineares, chama-se quadriltero {a{b{c{d a reunio dos segmentos ^c?{a{b*, ^c?{b{c*, ^c?{c{d* e ^c?{d{a*.

  Como mostra a figura, num quadriltero simples {a{b{c{d podemos destacar os seguintes componentes notveis: 
<p>
<F->
     A
     
             
D           
   l         
   l         
   l         
   v--------u 
   C      B 

<R+>
 os pontos A, B, C e D so os vrtices do quadriltero; 
 os segmentos ^c?{a{b*, ^c?{b{c*, ^c?{c{d* e ^c?{d{a* so os lados do quadriltero; 
<216>
 os ngulos :?{d{a{b* ou :A, :?{a{b{c* ou :B, :?{b{c{d* ou :C, :?{c{d{a* ou :D, so os ngulos do quadriltero (ou ngulos internos). 
<R->
<p>
     A
     
             
B           
   l         
   l         
   l         
   v--------u 
   C      D 

<R+>
 os segmentos ^c?{a{c* e ^c?{b{d* so as diagonais do quadriltero; 
<R->
  Os ngulos dos pares: 
:A e :B; :B e :C; :C e 
  :D; :D e :A.
  So ngulos consecutivos do quadriltero {a{b{c{d. 
  Os ngulos dos pares: 
:A e :C; :B e :D.
  So ngulos opostos do quadriltero {a{b{c{d. 
  Os segmentos dos pares: 
^c?{a{b* e ^c?{b{c*; ^c?{b{c* e 
  ^c?{c{d*; ^c?{c{d* e ^c?{d{a*; 
  ^c?{d{a* e ^c?{a{b*.
<p>
  So lados consecutivos do quadriltero {a{b{c{d. 
  Os segmentos dos pares: 
^c?{a{b* e ^c?{c{d*; ^c?{a{d* e ^c?{b{c*.
  So lados opostos do quadriltero {a{b{c{d.

Permetro 

  O permetro do quadriltero {a{b{c{d  a soma das medidas de seus lados. 

  Permetro {a{b{c{d={a{b+{b{c+
+{c{d+{d{a. 

Quadriltero convexo e 
  quadriltero cncavo 

  Observe o quadriltero a seguir: 
<p>
<F->
    A  D
    ccccm
       
      
 ----
 B C
<F+>

  No quadriltero {a{b{c{d, as retas ~:,?{a{b*, ~:,?{b{c*, ~:,?{c{d* e ~:,?{d{a* no cortam nenhum lado do quadriltero. {a{b{c{d  um quadriltero convexo. 
<217>
  No quadriltero {r{s{t{u _`[no representado_`], a reta ~:,?{t{u* corta o lado ~:,?{r{s*, e a reta ~:,?{r{u* corta o lado ~:,?{s{t*. {r{s{t{u  um quadriltero cncavo. 

  Um quadriltero  convexo quando a reta definida por dois vrtices consecutivos quaisquer no encontra o lado definido pelos outros dois vrtices. Se um quadriltero no  convexo, ele  cncavo. 
<p>
Soma dos ngulos de um 
  quadriltero 

  Voc j sabe que a soma das medidas dos ngulos de um tringulo  180. E, para um quadriltero, qual  a soma das medidas dos ngulos? 
  Vamos considerar o quadriltero convexo {a{b{c{d e traar a diagonal ^c?{a{c*. 
  Observemos, agora, os dois tringulos: {a{b{c e {a{c{d _`[no representados_`].
  No tringulo {a{b{c, temos: 
x+:B+z=180 
  No tringulo {a{c{d, temos: 
y+t+:D=180 
  Somando essas duas igualdades, temos: 
 `(x+y`)+:B+`(z+t`)+:D=180+180 
  Ento: 
:A+:B+:c+:D=180+180
  Ou seja: 
:A+:B+:c+:D=360 
<p>
  Se considerarmos o quadriltero cncavo e simples {a{b{c{d _`[no representado_`] e traarmos sua diagonal interna ^c?{a{c*, a mesma deduo continuar vlida. 
:A+:B+:c+:D=360 
  Podemos, ento, concluir que: 

  A soma dos ngulos internos de um quadriltero simples  360. 

Exerccios

<R+>
1.  dado o quadriltero {a{b{c{d, a seguir. 
<R->

<F->
        B 5 cm A
        pcccccccc
        l         
        l          
 7 cm  l            x
        l            
        l              
        v--------------u
        C    9 cm   D                  
<F+>
<p>
<R+>
<F->
a) Qual deve ser o valor de *x* para que o permetro seja 29 cm? 
b) Qual  a soma de dois lados opostos? E dos outros dois? 

_`[{para os exerccios 2 a 9, pea orientao ao professor_`]

2. Desenhe no seu caderno os quadrilteros _`[no representados_`]. 
a) Classifique-os em cncavos ou convexos. 
b) Trace as diagonais. 
c) O que aconteceu com uma das diagonais dos quadrilteros cncavos?  

3. Construa um quadriltero {c{i{d{a, sabendo que {c{i=3,5 cm, {i{d=6 cm, {d{a=5 cm, {a{c=4 cm e {c{d=7 cm. 
4. A soma dos ngulos internos de um quadriltero  igual  soma dos ngulos internos de um tringulo. Certo ou errado? 
<p>
5. Calcule o valor do ngulo *x*: 
<F+>
<R->
a)
<F->
    B       A
    ccccccccc
    110   x 
               
  80     60 
-----------------u
C               D

b)
<F->
                ilD 
               i l
              i  l
             i2xl
            i    l
           i     l
          i      l
         i       l
        i        l   
       i     4x l
      i          C 
     i x    5x 
    ----------
   A          B 
<F+>
<P>
c)
<F->             
  I               L
   pccccccccccccccm
   l_-_         x   
   v--#           
   l            
   l              
   l    120        
   l80   ~^ K    
   l   ~^    
   u~^
  J 
<F+>

<F->
d)
       S
       
        
     5x 
          
T  x    x  R
           
          
     5x 
        
       
       U
<F+>
<F+>
<219>
<p>
<R+>
6. Determine o valor de *x* nos casos a seguir.
<R->

a) _`[{figura no representada_`]

b)
<F->
           A
         ~^a,'
      ~^ 100a,'
D ~^            a,' 
~^                 B
  x               
                 
                
               
         40 
             
            
           
           C
<F+>

<R+>
7. Sabendo que ^c?{a{p* e ^c?{b{p* so bissetrizes, determine *x*. 

_`[{figuras no representadas_`]
<p>
8. Na figura _`[no representada_`], ^c?{a{p* e ^c?{c{p* so 
  bissetrizes de :A e :C, respectivamente. Determine *x*. 

9. Sabendo que ^c?{a{p* e ^c?{c{p* so bissetrizes de :A e :C, respectivamente, determine: 
 a) :C+:D
 b) :D e :C=:D+10

_`[{figuras no representadas_`]
<R->

Quadrilteros notveis 

Trapzio 

  Trapzio  um quadriltero que tem dois lados paralelos. 

  Observe o trapzio a seguir.  
<p>
<F->
     D b C
     ccccc
           
            
             
 -------------u
A    a       B

<220>
  Nele observamos: 
<R+>
 Os lados paralelos ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so as bases. 
 ^c?{a{b*  a base maior, de medida *a*, e ^c?{c{d*  a base menor, de medida *b*. 
 :A+:B+:C+:D=360. 
 :A+:D=180 e :B+:C=
  =180. 
 Permetro =
  ={a{b+{b{c+{c{d+{d{a. 
<R->

Trapzios especiais 

  Existem tipos diferentes de trapzio. Vamos conhec-los. 
<p>
  O trapzio issceles  aquele em que os lados no paralelos so congruentes. 
 ^c?{a{b*_l^c?{c{d* e ^c?{a{d*==
  ==^c?{b{c*

<F->
    D C
    ccc
        
         
          
-----------u
A         B
<F+>

  O trapzio retngulo possui dois ngulos retos. 
 ^c?{a{b*_l^c?{c{d*
 :A=90 e :D=90

<F->
D C
pccc
l    
l     
l      
v-------u
A     B
<F+>
<p>
  Um trapzio que no  issceles  chamado trapzio escaleno. 
 ^c?{a{b*_l^c?{c{d*
 :A=:B=:C=:D

<F->
   D   C
    iccc
   i     
  i       
 i         
i-----------u
A          B
<F+>

Paralelogramo 

  Paralelogramo  um quadriltero que tem os lados opostos paralelos. 

  Observe este paralelogramo: 

<F->
    D       C
    cccccccc
           
          
 --------
A       B
<F+>
<p>
  Nele observamos: 
<R+>
 ^c?{a{b*_l^c?{c{d*
 ^c?{a{d*_l^c?{b{c*
 :A+:B+:C+:D=360
 permetro ={a{b+{b{c+{c{d+{d{a 
<R->
  Um paralelogramo  um tipo particular de trapzio em que, alm das bases `(^c?{a{b* e ^c?{c{d*`), os outros dois lados `(^c?{b{c* e ^c?{a{d*`) tambm so paralelos. 
<221>

Losango 

  Losango  um quadriltero cujos quatro lados so congruentes. 

  Veja o losango a seguir: 

<F->
    D       C
    ccccccccc
            
           
          
---------
A       B
<p>
  Nessa figura observamos: 
<R+>
 ^c?{a{b*==^c?{b{c*==^c?{c{d*==
  ==^c?{d{a*
 :A+:B+:C+:D=360
 ^c?{a{b*_l^c?{c{d* e ^c?{b{c*_l^c?{d{a*, ou seja, um losango  tambm um paralelogramo. 
<R->

Retngulo 

  Retngulo  um quadriltero cujos quatro ngulos so retos. 

  Observe agora esta figura: 
   
<F->
  D        C
  pcccccccccc
  l          _
  l          _
  v----------#
  A        B  
<F+>

   retngulo, no qual temos:  
<R+>
 :A+:B+:C+:D=360 
 :A==:B==:C==:D==90 
<p>
 ^c?{a{b*_l^c?{c{d* e ^c?{b{c*_l^c?{d{a*, ou seja, um retngulo  tambm um paralelogramo. 
<R->

Quadrado 

  Quadrado  um quadriltero cujos quatro lados so congruentes e cujos quatro ngulos so retos. 

  Veja este quadrado: 

<F->
D       C
!:::::::::
l_-     _-_
l         _
l         _
l         _
l_-     _-_
h:::::::::j
A       B
<F+>

  No quadrado da figura, temos:
<R+>
 ^c?{a{b*==^c?{b{c*==^c?{c{d*==
  ==^c?{d{a*, ou seja, um quadrado  tambm um losango. 
<p>
 :A==:B==:C==:D==90, ou seja, um quadrado tambm  um retngulo. 
<R->
<222>

Desafios 

T de cartolina 

   Copie as figuras em cartolina, recorte-as e monte com elas um T (maisculo). 

_`[{figuras no representadas_`]

Divida o L 

  Divida a figura em quatro partes iguais, na forma e no tamanho. 

<F->
!:::
l   _
l   _
l   ^ccc
l       _
h:::::::j
<F+>
<p>
Exerccios

<R+>
10. Nas figuras a seguir {a{b{c{d  um trapzio de bases 
  ^c?{a{b* e ^c?{c{d*. Calcule os 
  ngulos de medidas *x* e *y*. 
<R->
<F->
a)
       C         B
       cccccccccccm
       y    50 
                
                
              
D  x         
            
      80 
          
         
        
        A
<p>
b)
    A        D
     cccccccccc
       60   x 
                 
                  
             120  C
                   
                  
                 
              y 
               
               
               B

c)
     D             C
     ccccccccccccccc
       x          _-_
                    _
                    _
                    _
           135  _-_
           ---------#
           A       B
<F+>
<R+>
<p>
11. {x{i{t{a  um trapzio de bases ^c?{x{i* e ^c?{t{a*. Sabendo que :A  o dobro de :X e 
  que :T  o triplo de :I, calcule os ngulos do trapzio. 

12. Sabendo que em cada caso a seguir {a{b{c{d  um paralelogramo, calcule *x* e *y*. 
<R->
<F->
a)
         C
         
          
           
       60 
             
              
D  x         B
            
  y        
            
          
         
         A
<p>
b)
                   
                y 
     DcccccccccmC
             x 
              
             
 A---------B
   130    
 
<223>

c) _`[{figura no representada_`]

d) _`[{figura no representada_`]
<F+>

<R+>
<F->
13. Determine as medidas dos ngulos de um: 
a) paralelogramo em que cada ngulo obtuso  o triplo de um ngulo agudo.
b) trapzio retngulo em que o ngulo agudo  igual a #e do ngulo obtuso. 
<p>
14. Determine as medidas dos ngulos de um quadriltero {b{e{l{o convexo, sabendo que as 
  medidas de seus ngulos, em graus, so dadas por: :B=
  =2x-9, :E=3x+20, :L=
  =x~2-7, :O=5x-7~3. 

15. Certo ou errado? 
a) O quadrado  um retngulo particular.  
b) Todo quadrado  losango. 
c) Todo quadrado  retngulo. 
d) Todo losango  quadrado.
e) Todo retngulo  losango.  
f) Todo losango  retngulo.  

16. Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) Todo losango  um paralelogramo.  
b) Todo retngulo  um paralelogramo.  
c) Todo quadrado  um paralelogramo.  
d) Todo paralelogramo  um losango.  
<p>
e) Todo paralelogramo  um retngulo.  
f) Todo paralelogramo  um quadrado.  
<F+>
<R->

Desafio 

Quantos so? 

  Quantos paralelogramos existem na figura _`[no representada_`]?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<224>

Matemtica em notcia

Rede pblica {" rede privada

<R+>
<F->
_`[{grfico "Percentual de estudantes na rede pblica e na rede privada". Adaptado, contedo a seguir_`]
Superior: 
  Rede pblica: 24,0;
  Rede privada: 76,0;
<p>
Mdio: 
  Rede pblica: 86,2;
  Rede privada: 13,8;
Fundamental e alfabetizao:
  Rede pblica: 87,9;
  Rede privada: 12,1;
Maternal e jardim da infncia:
  Rede pblica: 74,1;
  Rede privada: 25,9.
<F+>
<R->

Universidades privadas tm 
  76% dos alunos 

  Os dados da Pnad mostram que houve um aumento da participao das universidades particulares. No ano passado, trs em cada quatro universitrios `(76%`) estudavam em instituies privadas. O nmero vem crescendo: era de 74,1% em 2005 e de 75,5% em 2006. 
  De 2006 para 2007, as instituies privadas aumentaram seu nmero de alunos de 4,4 milhes para 4,7 milhes. Segundo o 
<p>
IBGE, a abertura de vagas s no foi maior em razo da maior fiscalizao pelo Ministrio da Educao. No mesmo perodo, as 
pblicas ampliaram o contingente de alunos de 1,4 milho para 1,5 milho. 

(*Folha de S. Paulo*, 
  19/9/2008.) 

<R+>
<F->
a) Em que categoria de escolaridade do grfico a porcentagem de estudantes da rede pblica era maior em 2007? 
b) Em que categoria do grfico mais da metade dos estudantes estavam na rede privada? 
c) Pnad  a sigla da Pesquisa Nacional por Amostra de Domiclios feita pelo IBGE. O que representa a sigla IBGE? 
d) Leia o texto com ateno e responda: Quantos eram os alunos do ensino superior no 
<p>
  Brasil em 2006? E em 2007? Que porcentagem desses alunos correspondia aos do ensino pblico em cada ano? 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<225>
<R+>
Captulo 19- Propriedades dos quadrilteros notveis
<R->

  Para recordar, os quadrilteros notveis so: paralelogramo, trapzio, losango, retngulo e quadrado. Agora estudaremos as propriedades desses quadrilteros. 

Paralelogramos 

Propriedades dos ngulos e lados 

  Vamos considerar um paralelogramo {a{b{c{d _`[no representado_`], traar a diagonal ^c?{a{c* e observar os ngulos :r, :s, :x e :y: 
  Do paralelismo de ^c?{a{b* e ^c?{c{d* com a transversal ^c?{a{c*, vem: 
 :r==:s (1) 
  Do paralelismo de ^c?{a{b* e ^c?{c{d* com a transversal ^c?{b{d*, vem: 
 :x==:y (2)
<226>
<p>
  Vamos decompor o paralelogramo em dois tringulos: {a{b{c e {c{d{a. Temos: 
 :r==:s; ^c?{a{c*  comum; :x==:y. 
 {a{l{a :> tringulo {a{b{c== 
  == tringulo {c{d{a
 :> :B==:D (3)
 ^c?{a{b*==^c?{c{d* (4)
 ^c?{b{c*==^c?{d{a* (5)
  As congruncias (1), (2) e (3) permitem enunciar: 

  Em qualquer paralelogramo, os ngulos opostos so congruentes. 

  As congruncias (4) e (5) fornecem a propriedade: 

  Em qualquer paralelogramo, os lados opostos so congruentes. 

Propriedades das diagonais 

  Vamos considerar um paralelogramo {a{b{c{d _`[no represen-
<p>
tado_`], traar as diagonais ^c?{a{c* e ^c?{b{d* que se cortam em M e observar os ngulos :r, :s, :x e :y. 
  Do paralelismo de ^c?{a{b* e ^c?{c{d* e com a transversal ^c?{a{c*, vem: 
 :r==:x
  Do paralelismo de ^c?{a{b* e ^c?{c{d* com a transversal ^c?{b{d*, vem: 
 :s==:y
  Note que ^c?{a{b*==^c?{c{d* e observe os tringulos {a{b{m e {c{d{m: 
 :r==:s; ^c?{a{b*==^c?{c{d*; 
  :s==:y
 {a{l{a :> tringulo {a{b{m== 
  == tringulo {c{d{m 
 :> ^c?{a{m*==^c?{c{m*; ^c?{b{m*==
  ==^c?{d{m* 
  Sendo ^c?{a{m*==^c?{c{m*, M  o ponto mdio do segmento ^c?{a{c*. 
  Como ^c?{b{m*==^c?{d{m*, M  o ponto mdio do segmento ^c?{b{d*. 
  Da, podemos escrever: 
<p>
  Em qualquer paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio. 

  As propriedades vistas so vlidas para os retngulos, para os losangos e para os quadrados, pois eles so paralelogramos particulares. 
<227>

Propriedades recprocas 

  Das trs propriedades estudadas, so vlidas as recprocas: 
<R+>
 Todo quadriltero cujos ngulos opostos so dois a dois congruentes  um paralelogramo. 
 Todo quadriltero cujos lados opostos so dois a dois congruentes  um paralelogramo. 
 Todo quadriltero cujas diagonais se cortam ao meio  um paralelogramo. 
<R->

Lados opostos paralelos e 
  congruentes 

  Vamos considerar um quadriltero {a{b{c{d com os lados opostos
<p>
^c?{a{b* e ^c?{c{d* paralelos e congruentes: 

<F->
       D       C
       cccccccccm
               
              
             
   ---------
   A       B
<F+>

^c?{a{b*_l^c?{c{d* e ^c?{a{b*==
  ==^c?{c{d*; 
  Tracemos agora a diagonal ^c?{a{c* e vamos observar os ngulos :r e :s. 
  Do paralelismo de ^c?{a{b* e ^c?{c{d*, vem: :r==:s. 
  Observando os tringulos {a{b{c e {c{d{a, temos: 
 ^c?{a{b*==^c?{c{d*; :r==:s; 
  ^c?{a{c*  comum. 
 {l{a{l :> tringulo {a{b{c==
  == tringulo {c{d{a :> :x==:y
  De :x==:y, vem ^c?{a{d*_l^c?{b{c*. 
<p>
  Como ^c?{a{d*_l^c?{b{c* e ^c?{a{b*_l^c?{c{d*, ento {a{b{c{d  paralelogramo. 
  Podemos concluir que: 

  Todo quadriltero que possui dois lados opostos paralelos e congruentes  um paralelogramo. 

Exerccios

<R+>
17. Construa um paralelogramo {j{i{p{e, sabendo que {j{i=3 cm, {j{e=5 cm e :?{i{j{e*=
  =60.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
18. Um ngulo de um paralelogramo mede 135. Determine seus outros ngulos. 
<R->
<228>
<p>
<R+>
19. Em cada item, {h{o{j{e  um paralelogramo de 80 cm de permetro. Determine *x*. 
<R->
<F->
a) 
        O       J
        cccccccccm
                
                15 cm
              
    ---------
    H  x   E
          
b)
      J x E     
       ccccc
             
     3x      
               
                
            -----u
            O   H
<F+>

<R+>
<F->
20. Calcule os lados do paralelogramo em que: 
a) o permetro  48 cm e um lado  o dobro do outro. 
<p>
b) o permetro  32 cm e um lado  o triplo do outro.  
c) o permetro  56 cm e um lado  #,c do outro. 
d) o permetro  24 cm e a diferena entre dois lados consecutivos  2 cm. 
e) o permetro  42 cm e os lados so medidos por nmeros inteiros e consecutivos. 

21. Num paralelogramo {c{e{r{a, as diagonais ^c?{c{r* e ^c?{e{a* encontram-se num ponto M. Calcule as medidas das diagonais sabendo que o lado ^c?{c{e* mede 7 cm e os lados do tringulo {c{e{m medem 5 cm, 4 cm e 7 cm.  
22. Calcule os ngulos determinados pelas bissetrizes de dois ngulos consecutivos de um paralelogramo. 

_`[{para os exerccos 23 e 24, pea orientao ao professor_`]
<p>
23. Sendo {a{b{c{d um paralelogramo, ^c?{a{p*  bissetriz, {a{b=7 cm e {p{c=3 cm. Deter-
  mine o permetro do paralelogramo _`[no representado_`].  
24. No paralelogramo {a{b{c{d, {a{d=20 cm, {b{q=12 cm e ^c?{b{p*==^c?{b{q*. Determine o permetro desse paralelogramo. 
<R->

<F->
     D             A
     cccccccccccccc
                  
   ----u----------
   C Q         B
                
               
              
             
             P

<F+>
<R+>
<F->
25. Calcule os ngulos de certo paralelogramo sabendo que a diferena de dois ngulos consecutivos  30.
<229> 
<p>
26. Responda: certo ou errado? 
a) Se dois lados opostos de um quadriltero so congruentes, ento ele  um paralelogramo.  
b) Se dois ngulos opostos de um quadriltero so congruentes, ento ele  um paralelogramo.  
c) Se dois lados de um quadriltero so congruentes, ento ele  um paralelogramo.  
d) Se dois lados opostos de um quadriltero so paralelos e congruentes, ento ele  um paralelogramo. 
<F+>
<R->

Retngulos 

  Todo retngulo  um paralelogramo. Por isso, em qualquer retngulo: 
<R+>
 os ngulos opostos so congruentes; 
 os lados opostos so congruentes; 
 as diagonais cortam-se ao meio. 
<R->
<p>
Diagonais congruentes 

  Vamos considerar um retngulo {a{b{c{d e observar os tringulos {a{b{c e {b{a{d: 

<F->
D    C  D    C  D    C
!::::::  !,,,,,,  !,,,,,,
l_-  _-_  k    ^_  l^    { 
l      _  k  ^  _  l  ^  {
l_-  _-_  k^  _-_  l_-  ^{
h::::::j  h::::::j  h::::::j
A    B  A    B  A    B
<F+>

 ^c?{b{c*==^c?{a{d*; :B==:A;
  ^c?{a{b*  comum. 
 {l{a{l :> tringulo {a{b{c== 
  == tringulo 
  {b{a{d :> ^c?{a{c*==^c?{b{d*
  Podemos concluir: 

  Em qualquer retngulo as diagonais so congruentes. 
<p>
  Vale tambm a recproca: 

  Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes  um retngulo. 
<230>

Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios 27 a 29, pea orientao ao professor_`]

<F->
27. Construa um retngulo sabendo que seus lados medem 3 cm e 4 cm. 
28. Construa um retngulo {g{a{t{o, sabendo que um lado mede 5 cm e as diagonais medem 7 cm. 
29. Sendo {c{i{d{a um retngulo _`[no representado_`], calcule *x* e *y*. 
30. Usando o fato de que um tringulo retngulo  "metade" de um retngulo, quando este  cortado numa de suas diagonais, prove que "a medida da mediana 
  relativa  hipotenusa de um 
<p>
  tringulo retngulo  igual  medida de metade da hipotenusa".  
31. Um tringulo retngulo {a{b{c tem :B=60. Determine o ngulo que a mediana ^c?{a{m*, relativa  hipotenusa, forma com os lados ^c?{a{b* e ^c?{a{c*. Voc pode usar a demonstrao do exerccio anterior.  

32. Num tringulo retngulo em :A, a mediana ^c?{a{m* mede 10 cm. 
a) Quanto mede a hipotenusa? 
b) Classifique os tringulos {m{a{b e {m{a{c. 
  Sugesto: Use a demonstrao do exerccio 30. 

33. No tringulo {a{b{c _`[no representado_`], retngulo em :A, o ngulo :B mede 20. Calcule o ngulo entre a bis-
<p>
  setriz ^c?{a{s* e a mediana ^c?{a{m*. Voc pode usar a demonstrao do exerccio 30.  
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
<R+>
<F->
34 Responda: certo ou errado? 
a) Toda propriedade do paralelogramo vale para o retngulo. 
b) Toda propriedade do retngulo vale para o paralelogramo.  
c) Se as diagonais de um quadriltero so congruentes, ento ele  um retngulo.  
d) Se as diagonais de um paralelogramo so congruentes, ento ele  um retngulo. 
<F+>
<R->

Losangos 

  Todo losango  paralelogramo. Por isso, em qualquer losango: 
<R+>
 os ngulos opostos so congruentes; 
<p>
 os lados opostos so congruentes; 
 as diagonais cortam-se ao meio. 
<R->
<231>

Diagonais perpendiculares 

  Vamos considerar um losango {a{b{c{d e seja M o ponto de encontro das diagonais ^c?{a{c* e ^c?{b{d*. 

<F->
      D
      
     ^ 
     ^  
     ^M 
A aaaaaa C
     ^  
     ^ 
      
      B
<F+>

  Sabemos que ^c?{a{m*==^c?{c{m* e ^c?{b{m*==^c?{d{m*. 
<p>
  Observe os tringulos {a{d{m e {c{d{m e os ngulos :x e :y. 
 ^c?{a{d*==^c?{c{d*; ^c?{a{m*==
  ==^c?{c{m*; ^c?{d{m*  comum. 
 {l{l{l :> tringulo {a{d{m== 
  == tringulo {c{d{m :> :x==:y.
  De :x==:y e x+y=180, conclumos que x=y=90; logo, ^c?{a{c*#'^c?{b{d*. 

  Em qualquer losango as diagonais so perpendiculares. 

  Vale tambm a recproca: 

  Todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares  um losango. 

Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 35 a 37, pea orientao ao professor_`]

35. Construa um losango {l{u{p{a em que uma diagonal mede 6 cm e um lado mede 5 cm. 
<p>
36. Construa um losango sabendo que suas diagonais medem 8 cm e 5 cm. 
37. Em cada item, sendo {a{b{c{d um losango _`[no representado_`], determine *x* e *y*. 
38. Usando o caso {l{a{l de congruncia de tringulos, prove que as diagonais de um losango so bissetrizes de seus ngulos. 
39. Calcule as medidas dos ngulos de um losango, sabendo que uma diagonal forma com um dos lados um ngulo de 52. 
<232>
40. Um losango tem um ngulo de 120, e a diagonal menor decompe o losango em dois tringulos. Quanto medem os ngulos desses tringulos?  
41. Determine as medidas dos ngulos de um losango, sabendo que uma diagonal e dois lados consecutivos formam um tringulo equiltero. 
<p>
42. Responda: certo ou errado? 
a) Toda propriedade do losango vale para o paralelogramo.  
b) Toda propriedade do paralelogramo vale para o losango. 
c) Se as diagonais de um quadriltero so perpendiculares, ento ele  um losango. 
d) Se as diagonais de um paralelogramo so perpendiculares, ento ele  um losango. 
<F+>
<R->

Quadrados 

  Todo quadrado  paralelogramo,  retngulo e  losango. Por isso, um quadrado qualquer tem todas as propriedades dos paralelogramos, dos retngulos e dos losangos.
  Em particular, vale para os quadrados a propriedade: 

  Em qualquer quadrado as diagonais cortam-se ao meio, so congruentes e so perpendiculares. 

<p>
 ^c?{a{m*==^c?{c{m*==^c?{b{m*==
  ==^c?{d{m* 
 ^c?{a{c*==^c?{b{d* 
 ^c?{a{c*#'^c?{b{d* 

<F->
D        C
!::::::::::
l^     ^ _ 
l  ^ ^   _
l    ^ M _
l  ^  ^  _
l^      ^_
h::::::::::j
A        B
<F+>

   vlida a recproca: 

  Todo paralelogramo que possui diagonais congruentes e perpendiculares  quadrado. 
<233>
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 43 e 44, pea orientao ao professor_`]

43. Construa um quadrado cujas diagonais medem 4 cm. 

44. Nos itens a seguir, sendo {l{u{v{a um quadrado, calcule *x* e *y*. 
<F+>
<R->
a)
<F->
   A        V
   !::::::::::
   l      y ^_ 
   l      ^x _
   l    ^    _
   l  ^      _
   l^        _
   h::::::::::j
   L        U
<F+>
<p>
<F->
b)  
   A        V
   !::::::::::
   l^     ^ _ 
   ly ^ ^   _
   l    ^ x  _
   l  ^  ^  _
   l^      ^_
   h::::::::::j
   L        U
<F+>

<R+>
<F->
45. Responda: certo ou errado? 
a) Toda propriedade do paralelogramo vale para o quadrado. 
b) Toda propriedade do quadrado vale para o paralelogramo. 
c) Toda propriedade do losango vale para o retngulo. 
d) Toda propriedade do retngulo vale para o quadrado. 
e) Toda propriedade do quadrado vale para o retngulo. 
f) Toda propriedade do quadrado vale para o losango. 
<p>
g) Toda propriedade do losango vale para o quadrado. 
h) O quadrado tem as propriedades do paralelogramo, do retngulo e do losango. 

46. Com um arame de 24 m de comprimento, construmos um tringulo equiltero. Com o mesmo arame, construmos depois um quadrado. Qual  a razo (o quociente) entre o lado do tringulo e o lado do quadrado? 

_`[{para os exerccios 47 e 48, pea orientao ao professor_`]

47. Se {a{b{c{d  um quadrado e {a{b{p  um tringulo equiltero _`[no representados_`], determine *x*.  
48. Se {a{b{c{d  um quadrado e {b{c{p  um tringulo equiltero _`[no representados_`], determine *x*. 
<F+>
<R->
<234>
<p>
Trapzio issceles 

  Um trapzio issceles tem as propriedades j vistas para trapzios em geral: 
 :A+:B+:C+:D=360 
 :A+:D=180 e :B+:C=
  =180 

<F->
    D  C
    ccccc
          
           
            
-------------
A           B
<F+>

  Alm dessas, h propriedades caractersticas do trapzio issceles, como veremos a seguir. 

ngulos das bases congruentes 

  Vamos considerar um trapzio issceles {a{b{c{d de bases 
^c?{a{b* e ^c?{c{d* e lados con-
<p>
gruentes ^c?{a{d* e ^c?{b{c* `(^c?{a{d*==^c?{b{c*`). 
  Tracemos por C uma paralela a ^c?{a{d*, determinando um ponto E na base ^c?{a{b*. 
  Obtemos, ento, um paralelogramo {a{e{c{d e um tringulo issceles {c{e{b. 

<F->
    D   C
    ccccc
          
           
            
-------------
A    E      B
<F+>

  Observando os ngulos :A, :E e :B assinalados na figura, temos: 
 do tringulo {c{e{b issceles: 
  :B==:E :> :A==:B (1)
 do paralelogramo: :A==:E
  Por outro lado: 
 :A+:D=180, ou seja, :D=
  =180-:A
<p> 
 :B+:C=180, ou seja, :C=
  =180-:B 
  Em vista de (1), temos: 
 :C==:D (2)
  De (1) e (2), vem: 

  Num trapzio issceles, os ngulos das bases so congruentes. 

Diagonais congruentes 

  Num trapzio issceles, as diagonais so congruentes. 

  Essa propriedade pode ser provada pelo caso {l{a{l de congruncia de tringulos. 
<235>

Exerccios

<R+>
49. {c{o{l{a  um trapzio de bases ^c?{c{o* e ^c?{l{a*. Sabendo que :C=x, :A=3x, :O=y e :L=4y, determine os ngulos :C, :O, :L e :A do trapzio. 
<p>
50. Sabendo que {a{b{c{d so trapzios issceles de bases ^c?{a{b* e ^c?{c{d*, determine seus ngulos. 
<R->
<F->
a)
    D   C
    cccccc
       8x 
            
  x        x 
--------------
A            B

b)
    D          C
    ccccccccccccc
                  
                   
  3x-5  2x+15 
---------------------
A                   B
<F+>

<R+>
<F->
51. Calcule a medida dos ngulos obtusos de um trapzio issceles supondo que: 
a) um dos ngulos agudos mede 50; 
<p>
b) um dos ngulos agudos mede 80; 
c) a soma dos ngulos obtusos  250.  

52. Usando o caso de congruncia {l{a{l, prove que as diagonais de um trapzio issceles so congruentes. 
53. Usando o caso {l{l{l de congruncia de tringulos, mostre que "as diagonais e as bases de um trapzio issceles determinam dois tringulos issceles". 
54. As bases de um trapzio issceles medem 6 m e 15 m, e as diagonais so bissetrizes dos ngulos de base maior. Determine o permetro desse trapzio.  
55. Determine os ngulos de um trapzio issceles cuja altura forma um ngulo de 40 com um dos lados no paralelos.  
<p>
56. Determine os lados do trapzio {a{p{t{o de 41 cm de permetro, sabendo que {a{p=3x+2 cm, {p{t=x+1 cm, {t{o=x cm e {a{o=2x-4 cm. 
57. Num trapzio issceles, a base maior mede 15 cm, a menor mede 9 cm, e o permetro  44 cm. Quanto mede cada um dos outros lados?  
58. Determine os lados de um trapzio issceles de 80 cm de permetro, em que a base menor  congruente a um dos lados e a base maior  o dobro da base menor.  
59. A diagonal de um trapzio issceles  congruente  base maior, e um ngulo do trapzio mede 70. Determine os ngulos formados pelas diagonais.
<F+>
<R->
<236>
<p>
Base mdia nos tringulos 

  Observe o tringulo {a{b{c a seguir: 

<F->
     3 cm
  <::::::::::>
  B        C
  ccccccccccm
           
          
 M o::::o N
        
       
       A
<F+>

  Nele {b{c=3 cm, M  ponto mdio de ^c?{a{b*, N  ponto mdio de ^c?{a{c*, e o segmento ^c?{m{n*,  chamado base mdia do tringulo {a{b{c. 

<R+>
_`[{um professor mostra trs tringulos desenhados numa folha para trs jovens e pergunta: "Quanto mede, em cada caso, o segmento ^c?{m{n*?"_`]
<R->
<p>
  Para responder a essa pergunta, vamos fazer algumas demonstraes. 
  Num tringulo {a{b{c, vamos chamar de M o ponto mdio de ^c?{a{b* e de N o ponto mdio de ^c?{a{c*. 

<F->
      A
      
       
M o   o N
         
  --------
  B      C
<F+>

  Vamos traar a reta ~:,?{m{n* e a reta *r*, que passa por C e  paralela a ~:,?{a{b*. 
<237>
  Observe na figura _`[no representada_`] que: 
<R+>
 as retas ~:,?{m{n* e *r* se interceptam no ponto D; 
 as retas paralelas ~:,?{a{b* e *r* e a transversal ~:,?{a{c* permitem-nos concluir que :A==:x;
<p>
 como :x==:A, ^c?{a{n*==
  ==^c?{c{n* e :z==:y, os tringulos {c{d{n e {a{m{n so congruentes (pelo critrio 
  {a{l{a) e, ento, ^c?{c{d*==
  ==^c?{a{m*; logo, ^c?{c{d*==
  ==^c?{m{b*; 
 como ^c?{c{d*_l^c?{m{b* e ^c?{c{d*==^c?{m{b*, o quadriltero {m{b{c{d  um paralelogramo e, ento, ^c?{m{d*_l^c?{b{c*. 
<R->
  Dessa forma, conclumos que: 
^c?{m{n*_l^c?{b{c*.
  Ainda do fato de tringulo {c{d{n== tringulo {a{m{n resulta que ^c?{m{n*==^c?{d{n*. Como {m{b{c{d  um paralelogramo, temos ^c?{m{d*==^c?{b{c* e, ento, 2.{m{n={b{c. 
  Conclumos, portanto, que: 
 {m{n=1~2.{b{c
  Se um segmento tem extremidades nos pontos mdios de dois lados de um tringulo, ento ele : 
 paralelo ao terceiro lado; 
 metade do terceiro lado. 
<p>
  Em todos os casos {m{n=
 ={b{c~2=1,5 cm, independente-
 mente das medidas de ^c?{a{b* e ^c?{a{c*. 
  Verifique com uma rgua que {m{n=1,5 cm. 

<R+>
_`[{um professor sorrindo fala: "E ento voc conseguiu a medida do segmento ^c?{m{n*?"_`]

Exerccios

60. Em cada item, sabendo que M  ponto mdio de ^c?{a{b* e N  
  ponto mdio de ^c?{a{c*, calcule 
  *x* e d o permetro do tringulo {a{b{c. 
<R->
<F->
a)
       A
       
   2    4
      x  
 M ------ N
           
  ----------u
  B   8   C
<p>
b)
    B  3x-5  C
    ccccccccccccm
               
         x    
   M o::::::o N
            
      2    3
          
          A
<F+>
<238>

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 61 a 67, pea orientao ao professor_`]

61. Qual  o quadriltero notvel cujos vrtices so M, N, P e Q, pontos mdios dos lados 
  de um quadriltero qualquer {a{b{c{d? Prove que sua resposta est correta.  
62. Nas figuras _`[no representada_`], segmentos com marcas iguais so congruentes. Determine o valor de *x* em cada caso. 
<p>
63. No tringulo {i{t{a de lados {i{t=9 cm, {t{a=14 cm e {i{a=11 cm, os pontos D, E e F so os pontos mdios de ^c?{i{t*, ^c?{t{a* e ^c?{i{a*, respectivamente. Calcule o permetro do tringulo {d{e{f. 
64. Num tringulo {l{u{a, os pontos M, N e R so os pontos mdios dos lados ^c?{l{u*, ^c?{l{a* e ^c?{u{a*, respectivamente. Se {m{n=7 cm, {n{r=4 cm e {m{r=8 cm, qual  o permetro desse tringulo?  
65. Qual  o quadriltero notvel {m{n{p{q cujos vrtices so os pontos mdios dos lados de um 
  retngulo {a{b{c{d? Prove que sua resposta est correta.  
<F+>

_`[Figura no representada_`]
<R->
<p>
<R+>
66. Qual  o quadriltero notvel {p{q{r{s cujos vrtices so 
  os pontos mdios dos lados de um 
  losango {a{b{c{d? Justifique sua resposta. 

_`[Figura no representada_`]

67. Qual  o quadriltero notvel {e{f{g{h cujos vrtices so os pontos mdios dos lados de um quadrado {a{b{c{d? Demonstre que sua resposta est correta. 

_`[Figura no representada_`]
<R->
<239>
<p>
Base mdia nos trapzios 

  Observe o trapzio {a{b{c{d a seguir: 

<F->
   D  C
   pccccc
   l      
   l       
M o:::::::o N
   l         
   l          
   v-----------u
   A         B
<F+>

  Nele {a{b=4 cm, {c{d=3 cm, M  ponto mdio de ^c?{a{d*, N  ponto mdio de ^c?{b{c*, e o segmento ^c?{m{n*  chamado base mdia do trapzio {a{b{c{d. 

<R+>
_`[{um professor pergunta para trs alunos: "Quanto mede, nos casos anteriores, o segmento ^c?{m{n*?"_`]
<R->

  Acompanhe a resposta a seguir. 
<p>
  Num trapzio {a{b{c{d, com base maior ^c?{b{c* e base menor ^c?{c{d*, vamos chamar de M o 
ponto mdio de ^c?{a{d* e de N o ponto mdio de ^c?{b{c*. 

<F->
      D  C
      ccccc
            
 M o        o N
              
  -------------
  A           B
<F+>

  Traamos a reta ~:,?{d{n* e chamamos E o ponto em que ela intercepta a reta ~:,?{a{b*: 

_`[{figura no representada_`]

  Observe que:
<R+>
 as retas paralelas ~:,?{a{b* e ~:,?{c{d* e a transversal ~:,?{c{b* permitem-nos concluir que :C==:X;
<p>
 como :x==:C, ^c?{b{n*==
  ==^c?{n{c* e :y==:z, os tringulos {b{e{n e {c{d{n so con-
  gruentes e disso resulta que ^c?{e{n*==^c?{d{n* e ^c?{b{e*==
  ==^c?{c{d*; 
<240>
 no tringulo {d{a{e, sendo ^c?{e{n*==^c?{d{n*, resulta que M e N so os pontos mdios dos lados ^c?{a{d* e ^c?{d{e*, respectivamente. Pela propriedade da base mdia do tringulo, temos: 
 ^c?{m{n*_l^c?{a{e*; portanto, ^c?{m{n*_l^c?{a{b*_l^c?{c{d*
 {m{n=1~2.{a{e; portanto, {m{n={a{b+{b{e~2={a{b+{c{d~2
<R->

  Se um segmento tem extremidades nos pontos mdios dos lados no paralelos de um trapzio, ento ele : 
<R+>
 paralelo s bases; 
 igual  mdia aritmtica das bases. 
<R->
<p>
  Assim, respondendo  pergunta inicial, em todos os casos, {m{n={a{b+{c{d~2=4+3~2=3,5 cm, independentemente das medidas 
de ^c?{b{c* e ^c?{a{d*. Verifique com uma rgua que {m{n=3,5 cm. 

<R+>
_`[{um professor pergunta: "E a? Quanto mede o segmento ^c?{m{n*?"_`]

Exerccios

68. Sabendo que M  ponto mdio de ^c?{a{d*, N  ponto mdio de ^c?{b{c*, e {a{b{c{d  um trapzio, calcule *x*, *y* e *z*. 
<R->

<F->
       D C
       ccc
           
            
 M ccccccccc N
              
               
 ---------------u
 A             B
<p>
^c?{d{m*=13 cm
^c?{d{c*=18 cm
^c?{c{m*=12 cm
^c?{a{b*=30 cm
^c?{m{n*=z
:b=80
:a=70
:m=x
:n=y
<F+>

<R+>
69. A base mdia de um trapzio mede 30 cm e a base maior  #:b  
  da base menor. Determine as medidas das bases desse trapzio. 

<241>
70. Considerando que os quadrilteros a seguir so trapzios e os segmentos inclinados so congruentes, determine os valores das incgnitas em cada item. 
<R->
<F->
<p>
a)
         x+3 
       cccccc
              
       2x+2  
    cccccccccccc
                 
                  
 ------------------u
        4x-3

b)
             x+3
    ccccccccccccccccccccm
                      a
                    a 
          x       a y
        ccccccccccccm
              a    
            a     
           ------
            5y-2x
<F+>
<p>
<R+>
71. Sabendo que {a{b{c{d  um trapzio, P  ponto mdio 
  de ^c?{a{d* e Q  ponto mdio de ^c?{b{c*, calcule *x*, *y*, *z* e o permetro de {a{b{c{d. 
<R->

<F->
D                        C 
ccccccccccccccccccccccccccm 
                           
                            
                            
 P ccccccccccccccccccm Q  
                           
                            
                        
        ----------         
        A        B

^c?{a{b*=10 cm
^c?{c{d*=26 cm
^c?{b{q*=13 cm
^c?{p{d*=10 cm
^c?{p{q*=x
:{a=110
:{b=120
:y no vrtice P
:z no vrtice Q
<F+>
<p>
<R+>
72. A base mdia de um trapzio mede 14 cm e a base maior excede a menor em 4 cm. Determine as medidas das bases desse quadriltero. 
 73. Sabendo que {a{b{c{d  um trapzio e que os segmentos inclinados so congruentes, determine os valores das incgnitas. 
<R->

<F->
          x
        ccc
        10 
      ccccccc
         y    
    ccccccccccc
        16     
  ccccccccccccccc
         z        
-------------------u
<F+>

<R+>
_`[{uma criana se aproxima de outra que est fazendo alguns clculos, falando: "Aha! Ento  assim que voc resolve estes 
<p>
  problemas de matemtica!" Batendo com a mo na prpria cabea, ela continua: "Nossa, como eu nunca pensei nisso antes?!?" Continua a falar: "Quer dizer  
  que a gente precisa, realmente, fazer todas as contas? E no basta s olhar para elas?" A outra criana escuta tudo com espanto_`]
<R->
<242> 

Matemtica em notcia

Pas tem o 3 maior avano de 
  milionrios 

  O nmero de milionrios no Brasil cresceu 19,1% no ano passado, o terceiro maior avano no mundo, superado apenas por ndia e China. O pas contava, em 2007, com 143 mil pessoas com ativos de pelo menos US$1 milho '23 mil a mais do que em 2006. 
<p>
  Levantamento da Barclays Wealth e da Economist 
 Intelligence Unit, divulgado no ms passado, estima que o Brasil ter, em 2017, 675 mil domiclios com fortuna de pelo menos 
US$1 milho e ser o pas emergente com o maior nmero de milionrios. 

(*Folha de S. Paulo*, 
  25/6/2008.) 

Clube dos milionrios

  Brasil tem o terceiro maior avano em nmero de pessoas com pelo menos US$1 milho em ativos.

<R+>
_`[{tabela adaptada, obedecendo a seguinte sequncia_`]
 pas; variao em 2007, em %; nmero total de milionrios, em mil.
<F->
1 ndia; 22,7; 123
2 China; 20,3; 415
<p>
3 Brasil; 19,1; 143
4 Coria do Sul; 18,9; 118
5 Indonsia; 16,8; 23
6 Eslovquia; 16,0; 4
7 Cingapura; 15,3; 77
8 Emirados rabes Unidos; 15,3; 78
9 Repblica Tcheca; 15,1; 17
10 Rssia; 14,4; 136
<F+>

_`[{grfico "Progresso dos milionrios no Brasil" adaptado na forma 
de tabela, em duas colunas, contedo a seguir_`]

 !:::::::::::::
 l ano _ em mil _
 !:::::::::::::
 l 03 _ 92    _
 l 04 _ 98    _
 l 05 _ 109   _
 l 06 _ 120   _
 l 07 _ 143   _
 h:::::j::::::::j
<p>
_`[{grfico "Avano dos milionrios no mundo" adaptado na forma de 
tabela, em duas colunas, contedo a seguir_`]

 !:::::::::::::::::
 l ano _ em milhes _
 !:::::::::::::::::
 l 03 _ 7,7       _
 l 04 _ 8,2       _
 l 05 _ 8,8       _
 l 06 _ 9,5       _
 l 07 _ 10,1      _
 h:::::j::::::::::::j

_`[{mapa do mundo, destacando o pas e a quantidade de milionrios 
(em mil) naquele pas, contedo a seguir_`]
<F->
Canad -- 274
EUA -- 3.028
Brasil -- 143
Reino Unido -- 495
Alemanha -- 826
Rssia -- 136
<p>
China -- 415
ndia -- 123
Austrlia -- 172
Coria do Sul -- 118
<F+>
<R->

Fonte: "World Wealth Report 
  2008".

  De acordo com os dados dessa reportagem, responda: 
<R+>
<F->
a) Quais so os dois pases com maior nmero de milionrios no mundo? 
b) Em relao ao total de milionrios no mundo, quantos por cento eram os milionrios brasileiros em 2003? E em 2007? 
c) Se, de fato, em 2017 forem 675 mil os milionrios brasileiros, quanto por cento ter crescido esse nmero em dez anos? 
d) Se o mundo tiver 0,6 milho de milionrios a mais em cada ano at 2017, quantos por cento 
<p>
  sero ento os milionrios brasileiros em relao ao total de milionrios no mundo em 2017?  
<F+>
<R->
<243>

Desafio 

Tangram 

  Voc se lembra do Tangram? 
  O quadrado da figura _`[no representada_`] est dividido em sete partes: cinco tringulos retngulos issceles, um paralelogramo e um quadrado. 
  Copie essa figura em cartolina e recorte as peas. Depois, tente montar um quadrado usando somente: 
<R+>
<F->
a) duas peas; 
b) trs peas;
c) quatro peas; 
d) cinco peas; 
e) seis peas.   
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
Teste seu conhecimento

<R+>
<F->
1. Em volta de um terreno retangular de 12 m por 30 m, deve-se construir uma cerca com 
  cinco fios de arame farpado, vendido em rolos de 50 m. Quantos rolos devem ser comprados?
a) 36 
b) 18 
c) 12 
d) 9 
e) 5 

2. (Fuvest-SP) Na figura _`[no representada_`] os ngulos :a, :b, :c e :d medem, respectivamente, x~2, 2x, 3x~2 e x. 
<F+>
<R->
<R+>
<F->
  O ngulo *e*  reto. Qual a medida do ngulo *f*? 
a) 16 
b) 18
<p>
c) 20 
d) 22 
e) 24 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

3. (Cesgranrio-RJ) As bases ^c?{m{q* e ^c?{n{p* de um trapzio medem 42 cm e 112 cm respectivamente. 
<F+>
<R->

<F->
M Q
pcccc
l     
l      
l       
v--------u
N      P
<F+>

<R+>
<F->
  Se o ngulo :?{m{q{p*  o dobro do ngulo :?{p{n{m*, ento o lado ^c?{p{q* mede: 
a) 154 cm 
b) 133 cm 
c) 91 cm 
<p>
d) 77 cm 
e) 70 cm 

4. (Cesgranrio-RJ) Assinale a alternativa que contm a propriedade diferenciadora do 
  quadrado em relao aos demais quadrilteros. 
a) Todos os ngulos so retos. 
b) Os lados so todos iguais. 
c) As diagonais so iguais e perpendiculares entre si. 
d) As diagonais se cortam ao meio. 
e) Os lados opostos so paralelos e iguais. 
<244>

5. (Cesgranrio-RJ) Em um trapzio retngulo, o menor ngulo mede 35. O maior ngulo desse polgono mede: 
a) 155 
b) 150 
c) 145 
d) 142 
e) 140 
<p>
6. (Vunesp-SP) Considere as seguintes proposies: 
Todo quadrado  um losango. 
Todo quadrado  um retngulo. 
Todo retngulo  um paralelogramo. 
Todo tringulo equiltero  issceles. 
  Pode-se afirmar que: 
a) S uma  verdadeira. 
b) Todas so verdadeiras. 
c) S uma  falsa. 
d) Duas so verdadeiras e duas so falsas. 
e) Todas so falsas. 

7. (U.F. Ouro Preto-MG) Assinale a afirmativa incorreta: 
a) Em todo paralelogramo no retngulo, a diagonal oposta aos ngulos agudos  menor do que a outra. 
<p>
b)  reto o ngulo formado pelas bissetrizes de dois ngulos consecutivos de um paralelogramo. 
c) As bissetrizes de dois ngulos opostos de um paralelogramo so paralelas. 
d) Ligando-se os pontos mdios dos lados de um tringulo, este fica decomposto em quatro tringulos congruentes. 
e) Todas as afirmativas anteriores so incorretas. 

8. (ITA-SP) Considere um quadriltero {a{b{c{d cujas diagonais ^c?{a{c* e ^c?{b{d* medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U so os pontos mdios dos lados do quadriltero dado, ento o permetro do quadriltero {r{s{t{u vale: 
a) 22 cm 
b) 5,5 cm 
c) 8,5 cm
d) 11 cm 
e) 13 cm 
<p>
_`[{para os exerccios 9 e 10, pea orientao ao professor_`]

9. (Covest-PE) Na figura _`[no representada_`] {a{m={m{d e 
  {c{m={m{b. Assinale as medidas de ^a e ^b, respectivamente. 
a) 50 e 80 
b) 54 e 80 
c) 50 e 84 
d) 54 e 84 
e) 50 e 76 

10. (UF-MG) Na figura 
 _`[no representada_`], {a{b{c{d  um quadrado e {b{c{e  um tringulo equiltero. A medida do ngulo :?{a{e{b*, em graus, : 
a) 30 
b) 49 
c) 60 
d) 75
e) 90  
<p>
11. (PUC-SP) Cada ngulo interno de um decgono regular mede: 
a) 36 
b) 60
c) 72 
d) 120
e) 144

12. (FEI-SP) A sequncia a seguir representa o nmero de 
  diagonais *d* de um polgono regular de *n* lados: 
<F+>
<R->

<F->
!:::::::::::
l  n   _ d   _ 
r::::::w:::::w
l  3  _ 0  _  
l  4  _ 2  _
l  5  _ 5  _
l  6  _ 9  _
l  7  _ 14 _
l '''  _ ''' _
l  13 _ x   _
h::::::j:::::j
<F+>
<p>
<R+>
<F->
  O valor de *x* : 
a) 44 
b) 60 
c) 65 
d) 77 
e) 91 

13. (Unicamp-SP) O polgono convexo cuja soma dos ngulos internos mede 1.440 tem, exatamente: 
a) 15 diagonais. 
b) 20 diagonais. 
c) 25 diagonais. 
d) 30 diagonais. 
e) 35 diagonais. 

14. (Vunesp-SP) A afirmao falsa : 
a) Todo quadrado  um losango. 
b) Existem retngulos que no so losangos. 
c) Todo paralelogramo  um quadriltero. 
<p>
d) Todo quadrado  um retngulo. 
e) Um losango pode no ser um paralelogramo. 
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quinta Parte
